经过筛选试验的精简和全因子试验的描述，很多人会满足已经取得的成绩，但也有一些精益求精的人会提出这样的问题：现有的最佳因子水平组合一定是所有因子设置中最理想的选择吗？如果不是，又应当如何找出最优化的因子设置？确实，以往的DOE侧重于分析哪些因子是重要的，到底有多重要以及它们之间是否会相互影响，却没有刻意去从整体中寻觅最佳的因子设置。为了解决这个问题，需要引入DOE中另一种新方法——（Response Surface Methodology, 即RSM），这也是我们本期DOE系列介绍的主题。在这里，笔者仍将借助目前业界公认的高端六西格玛统计分析软件JMP来为大家展现响应曲面方法的实现和应用，顺便提及，JMP6是迄今业界唯一的中英文双语版六西格玛软件，来自全球顶尖的统计学软件集团SAS。
    在实际工作中，常常需要研究响应变量究竟如何依赖于自变量X的，进而能找到自变量的设置使得响应变量得到最佳值。当自变量的个数较少（通常不超过4个），则响应曲面方法是最值得推荐的方法，适合于要求响应变量望大（即越大越好）、望小（即越小越好）和望目（即越接近目标值越好）等各种常见情形。
    通常来说，DOE的核心技术可分为试验计划和数据分析两大类，响应曲面方法也不例外。在数据分析方面，它和以前介绍的方法没有什么本质的不同，但在试验计划方面，则有显著的改进。响应曲面方法的试验计划主要有中心复合设计和Box-Behnken设计两种形式，具体用图形说明如下。

图一  三因子中心复合设计布点示意图

• 立方体点（Cube Point），用蓝色点表示。各点坐标皆为1或-1， 这是全因子试验相同的部分。
• 中心点 (Center Point)，用绿色点表示。各点的三维坐标皆为0。
• 轴点(Axial Point)，用黄色点表示。除了一维自变量坐标为±a（旋转性指数）外，其余维度的自变量坐标皆为0。 在三个因子情况下，共6个轴点。

试验计划的另一种形式就是Box-Behnken设计。这种设计的特点是将因子各试验点取在立方体每条边的中点上。

图二  三因子布点示意图

图二同样以三维空间立方体的形式展示了一个三个因子的Box-Behnken设计的试验计划示意图。整个试验由下面两部分试验点构成。
1. 边中心点（Side Center Point），用白色点表示。除了一维自变量坐标为0外，其余维度的自变量坐标皆为±1。 在三个因子情况下，共12个边中心点。
2. 中心点 (Center Point)，用黑色点表示。各点的三维坐标皆为0。
由以上两个示意图可以清晰地发现，响应曲面方法有规律、有目的地在试验计划中增添了有限次数的各因子的中心试验点和拓展试验点，这为研究曲率的变化趋势、最优区域的确定等提供了极大的便利。

关于响应曲面方法在数据分析方面的特点，由于其和一般的因子设计DOE非常类似，此处就不做赘述。主要还是通过一个工业案例来一并介绍响应曲面方法的实际应用。

案例场景 :

如何通过催化剂（Catalyst）和稳定剂（ Stabilizer）配置比例的具体设定，才能获得某化学试剂的最低不纯度（Impurities%）？

因子	低水平（-1）	高水平（+1）
催化剂%（Catalyst）	0.586	3.414
稳定剂%（Stabilizer）	0.586	3.414

显然，此时的工程师已经不满足于从仅有的四次全因子组合中选择最优的选项，而是希望在一个更广阔的可行性空间里充分挖掘过程的潜能，寻觅到一个最理想或是最接近理想值的配置比例。当然，实现这一目的的同时还要兼顾试验的经济成本和时间次数等。

这时候，将传统的因子设计方法搁置一旁，适时地调用响应曲面方法，往往会起到最佳的效果。为了提高我们应用DOE的工作效率，本文将直接使用专业统计软件JMP进行响应曲面方法分析，试图获得化学试剂的不纯度最低时的配置比例。

首先，我们根据实际情况，以中心复合设计为原则，迅速地确定了13次运行次数的试验规模以及每次试验时的因子具体设置。接着，根据既定的试验计划进行实施，并且及时收集每次试验的响应值。将以上结果汇总之后，即可得到如图三所示的JMP文件格式的数据表格。

图三  中心复合设计的试验结果汇总表

然后，运用“模型拟合”的操作平台，就可以得到具体详尽的定量分析。遵循我们“强调通俗易懂，淡化统计原理”的一贯原则，我们不多在统计参数上花费笔墨，依然通过形象直观的图形来说明分析结果。在求出精确解之前,我们先观察一下图四所示的等高线图（Contour Plot）和图五所示的曲面图（Surface Plot）。从两个图中都可以清楚地看到，在原试验范围内确实存在一个最小值。

图四  等高线图

图五  曲面图

那么这个最小值究竟是多少？它又是在什么条件下产生的呢？进一步借助JMP自带的模型预测刻画器（Prediction Profiler），如图六所示，我们可以轻轻松松地得到最优化的配置比例：催化剂%=1.410568，稳定剂%=3.282724，这时产生的最低不纯净度%=3.156636。顺便提及，笔者尝试了多种统计分析软件，只发现JMP集成了模拟功能，实在难能可贵。

至此，我们匆匆走过了应用DOE优化流程的探索之路。其实在DOE的优化过程中，还有很多其他实用的知识和技巧，笔者将会在今后的文章中在做深入的介绍。

图六  模型的预测刻画器

试验设计的功效与应用

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