반응 표면 방법론

반응 표면 방법론을 사용하는 이유는 무엇인가요?

공정에서 중요한 요인 후보 목록을 좁히기 위해 선별 설계를 사용했다고 가정해보겠습니다. 이제 하나 이상의 반응을 최적화하는 요인 설정을 찾고 싶지만, 일반적인 선별 실험으로는 얻을 수 없는 더 구체적인 정보가 필요합니다.

또는 이미 어떤 요인이 중요한지 알고 있지만, 목표에 더 잘 부합하도록 공정을 개선할 수 있다고 생각할 수도 있습니다. 어느 경우든, 반응의 형태(즉, 반응 표면)를 이해하면 최적의 반응을 생성할 것으로 예측되는 요인 설정을 파악하는 데 도움이 됩니다(그것이 최대값이든, 최소값이든, 목표값이든 상관없이).

지금은 고려 중인 모든 요인이 연속형이라고 가정해보겠습니다.

두 수준에서 실험된 요인은 선형 효과를 추정하는 데 필요한 데이터를 제공합니다. 단일 요인 실험의 경우 반응 표면은 선(line)으로 모델링되며, 두 요인의 경우 평면(plane), 세 개 이상의 요인의 경우 초평면(hyperplane)으로 모델링됩니다.

하지만 요인이 반응에 미치는 효과가 선형적이지 않은 경우가 많습니다. 요인의 낮은 수준과 높은 수준 사이에서 반응에 피크(최대값)나 골(최소값)이 나타날 수 있습니다. 즉, 반응 표면에서 곡률이 나타날 수 있습니다. 이러한 경우에는 선형 반응을 가정한 설계만으로는 최적 조건을 찾기가 어렵거나 불가능합니다. 반응의 곡률을 추정하려면 모델에 새로운 효과를 추가해야 하며, 이를 위해서는 더 많은 데이터 포인트가 필요합니다. 예를 들어, 2차 효과(즉, X²)를 추정하려면 연속 요인을 두 수준이 아닌 세 수준에서 테스트해야 합니다. RSM 설계는 실험 내 각 연속 요인에 대해 세 번째 수준(또는 그 이상)을 포함합니다.

이러한 설계는 독립된 실험으로 수행될 수도 있고, 이전 설계에 포함되지 않은 요인 수준과 처리 조합을 지정하여 기존 데이터를 기반으로 2차 효과를 추정하는 데 활용될 수도 있습니다. 이미 어떤 요인이 중요한지를 알아내기 위해 선별 실험을 수행했다고 가정해보겠습니다. 시스템이나 공정에 대한 귀중한 데이터를 이미 수집했지만, 곡률을 추정하는 데 필요한 데이터는 보통 부족할 것입니다. 연속 요인에 세 번째 수준을 포함한 후속 실험을 추가하여 기존 데이터를 보완하는 것은 반응 표면을 모델링하는 효율적인 방법이 될 수 있습니다.

하나 이상의 반응을 최적화하는 요인 설정을 찾는 것은 어려울 수 있습니다. 대부분의 경우, 반응은 여러 요인에 의존하므로 반응 표면의 형태는 다차원적이며, 요인 간 상호작용이 존재한다면 복잡해질 수 있습니다. 반응 표면 방법론은 실험 영역 내에서 반응 목표를 달성하기 위한 최적의 요인 설정을 탐색할 수 있도록 해줍니다.

반응 표면 방법론: 예시

최고의 수율과 최소의 불순물을 생성하는 요인 설정을 식별하여 공정을 최적화하는 데 관심이 있다고 가정해보겠습니다. 두 반응의 목표는 동일한 중요도를 가진다고 가정합니다. 이전에 얻은 지식을 바탕으로 세 가지 요인이 중요하다는 것을 알고 있지만, 목표를 가장 잘 달성할 수 있는 운전 조건을 찾아 공정을 개선하고자 합니다. 이 예에서는 앞서 설명한 기존 설계를 확장하는 것이 아니라, 새로운 RSM 설계를 만드는 것입니다.

반응과 요인은 다음과 같습니다.

• 수율: 반응 목표는 최대화하는 것입니다(높을수록 좋음).
• 불순물: 반응 목표는 최소화하는 것입니다(낮을수록 좋음).
• pH: 요인 범위는 5에서 8입니다.
• 온도: 요인 범위는 섭씨 15°에서 45°입니다.
• 공급자: 세 가지 수준(요인 수준)이 있습니다. 품질 우수(Good), 빠름(Fast), 저가(Cheap).

연속 요인인 pH와 온도 모두에서, 요인의 높은 수준과 낮은 수준 사이에서 반응에 피크(최대값)나 골(최소값)이 존재하는지를 확인하고자 합니다. 관심 있는 pH의 범위는 5에서 8입니다. pH가 수율과 불순물에 미치는 영향이 선형적이지 않은지를 확인하기 위해, 5와 8 사이의 중간 수준인 6.5를 테스트합니다. 온도 요인에서도 마찬가지로 15°, 30°, 45° 세 수준을 테스트합니다. 세 수준은 연속 요인에 대한 2차 효과(곡률)를 추정할 수 있게 합니다. 2차 효과는 범주형 요인에 대해서는 추정할 수 없습니다. 또한 세 요인 간에 상호작용이 존재하는지도 확인하고자 합니다. 18회의 실험으로 구성된 RSM 설계를 통해 주효과, 이요인 상호작용, 그리고 2차 효과를 추정할 수 있습니다.

실험을 수행한 후, 반응 값은 데이터 테이블에 기록됩니다.

다중 선형 회귀를 사용하여 반응을 모델링합니다. 두 반응 모두에 대한 전체 모델에는 다음과 같은 항이 포함됩니다.

• 절편
• 세 가지 주효과(pH, 온도, 공급자)
• 세 가지 이요인 상호작용
• 두 개의 2차 효과(연속 요인에 대한)

수율과 불순물에 대해 각각 모델을 적합시킨 후, 변수 선택을 사용하여 유의하지 않은 항을 모델에서 제거할 수 있습니다. 각 반응의 축소 모델에 남은 항은 아래 표에 표시되어 있습니다.

참고: 이탤릭체로 표시된 모델 항은 통계적으로 유의하지 않지만, 고차 항에 포함되어 있기 때문에 모델에 남아 있습니다.

pH와 온도, 그리고 그들의 하나 이상의 고차 효과가 두 반응 모두에 중요하다는 사실을 확인했습니다. 하지만 공급자(및 pH와의 상호작용)는 불순물에만 중요한 것으로 나타났습니다.

연속 요인의 반응 표면 형태는 3차원 표면 그래프로 시각화할 수 있습니다. 그래프를 통해 실험 영역 내에서 더 높은 수율과 더 낮은 불순물 값을 얻을 수 있는 위치를 확인할 수 있습니다.

수율

불순물

또한 반응 표면의 단면도(프로파일)를 통해 반응 표면을 시각적으로 확인할 수도 있습니다. 여기에서는 개별 요인의 수준을 변경할 때 예측된 반응 값(왼쪽에 표시됨)이 어떻게 달라지는지를 확인할 수 있습니다. 또한 상호작용에 관련된 요인의 프로파일이 다른 요인의 수준에 따라 어떻게 변하는지도 확인할 수 있습니다.

반응 목표는 수율을 최대화하고 불순물을 최소화하는 것입니다. 실험 영역 내에서 두 목표 간의 균형을 이루는 요인 설정 조합을 찾을 수 있습니다. 이 예에서는 pH를 6.85로, 온도를 34.25°로 설정하고, 공급자를 Fast로 선택하면 수율이 94.12%로 최대화되고 불순물이 0.89%로 최소화될 것으로 예측됩니다.

비슷한 결과를 낼 수 있는 다른 요인 조합도 있을 수 있습니다. 예를 들어, 더 높은 수율을 얻을 수 있는 설정을 찾을 수도 있지만, 그 대신 불순물 최소화를 희생해야 할 수도 있습니다(또는 그 반대의 경우도 마찬가지입니다). 두 반응 중 하나를 더 중요하게 최적화해야 한다면, 이러한 절충을 받아들일 수도 있습니다.