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公開日: 04/01/2021

サブグループに分けたデータに対する多変量管理図の統計的詳細

p個の変数を監視し、標本サイズnが1より大きいサブグループがm個得られたとします。T2統計量は、サブグループごとに計算され、プロットされます。T2統計量と上側管理限界(UCL)の計算式は、目標統計量を求めたデータの種類によって異なります。フェーズI管理図の管理限界は、管理図上にプロットされるデータと同じデータから計算されます。フェーズII管理図の管理限界は、履歴データから求めた目標統計量に基づいて計算されます。HotellingのT2管理図のT2統計量と管理限界の詳しい計算方法については、Montgomery(2013)を参照してください。

フェーズI管理図の計算

フェーズI管理図では、j番目のサブグループのT2統計量は、次式により計算されます。

Equation shown here

ここで

Equation shown here は、j番目のサブグループにおける、p 個の測定値を要素とする列ベクトルの、n個から計算される平均。

Equation shown here はサブグループ平均の平均。

Sjは、j番目のサブグループにおける、n個の観測から計算された標本共分散行列。

Equation shown here は、群内共分散行列の平均として求めた、プールした共分散行列。

フェーズIの上側管理限界(UCL)は、次式により計算されます。

Equation shown here

ここで

p = 変数(列)の数

n = 各サブグループの標本サイズ

m = サブグループの数

Equation shown here = FEquation shown here分布の第(1–α)分位点

フェーズII管理図の計算

フェーズII管理図において、目標統計量を計算するのに用いた履歴データセットをXとします。j番目の観測におけるT2統計量は、次式により計算されます。

Equation shown here

ここで

Equation shown here は、j番目のサブグループにおける、p 個の測定値を要素とする列ベクトルの、n個から計算される平均。

Equation shown here は、履歴データから求めた、k番目のサブグループにおける、p 個の測定値を要素とする列ベクトルの、n個から計算される平均。

Equation shown here は、データ全体の平均。

Skは、履歴データから求めた、k番目のサブグループにおける、n個の観測から計算された標本共分散行列。

Equation shown here は、群内共分散行列の平均として求めた、プールした共分散行列。

フェーズIIの上側管理限界(UCL)は、次式により計算されます。

Equation shown here

ここで

p = 変数(列)の数

n = サブグループの標本サイズ

m = 履歴データにおけるサブグループの数

Equation shown here = FEquation shown here分布の第(1–α)分位点

サブグループに分けたデータの検定統計量の加算性

独立した正規分布に従うmn個の観測から成る標本を、標本サイズがnである合理的なサブグループm個にグループ化したとします。ここで、j番目のサブグループにおける平均Equation shown hereと目標値との距離をT2Mと表します。(このT2Mは、前節で求めた、サブグループ化されたデータにおけるT2です。)一方、各サブグループの個々のデータに関して、群内変動や、全体的な変動を表す、T2統計量も定義できます。これら3つのT2統計量には、平方和のように加算性があります。具体的には、m個のサブグループのそれぞれについて、次のような関係が成り立ちます。

Equation shown here

次の定義のすべてにおいて、Spは、フェーズIとフェーズIIのどちらの管理図かによって、これまでの節と同様に定義されます。また、μはフェーズIの管理図のEquation shown here、フェーズIIの管理図のEquation shown hereとします。

j番目のサブグループの目標値からの距離は、次のように定義されます。

Equation shown here

j番目のサブグループにおける群内変動は、次のように定義されます。

Equation shown here

ここで、Yjiは第jサブグループにおけるi番目の列ベクトル(p個の測定値を要素としてもつ列ベクトル)です。

j番目のサブグループにおける全体的な変動は、次のように定義されます。

Equation shown here

ここで、Yjiは第jサブグループにおけるi番目の列ベクトル(p個の測定値を要素としてもつ列ベクトル)です。

注: 「多変量管理図」の赤い三角ボタンのメニューから[T2乗の保存][T2乗の計算式の保存]オプションを選択すると各行に保存される値は、上記の3つの式で計算される、第i番目に対する結果です。

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