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公開日: 11/25/2021

逆推定の信頼限界

応答変数の値から、説明変数の値を推定することを、「逆推定」と言います。特に生物検定(バイオアセイ)の分野において、逆推定を行い、その信頼区間を求めるのは役立ちます。JMPでは、応答変数が連続尺度もしくは二値のモデルにおいて、逆推定を行うことができます。応答変数が連続尺度の場合には、応答の期待値ではなく、個々の値に対する信頼区間を求めることもできます。

Fiellerの定理(Fieller, 1954)が、逆推定の信頼限界の計算に使われています。以下で説明する方法によって、応答変数と他の説明変数の値が与えられているときの、ある説明変数の値とその信頼限界が推定されます。

bをパラメータbの推定値とします。また、bの分布をN(b,V)とします。

xを分析対象である説明変数の値とし、i番目の値を推定の対象とします。

yを応答値とします。

bx = yで、xのその他の値すべてが与えられているときの、x[i]の値に対する信頼限界を求めるのが目標です。

逆推定の点推定値は、次式で表されます。

Equation shown here

ここで、丸括弧に囲まれたiは、i番目の成分が省略されることを示します。信頼区間は、次の関係から求められます。

Equation shown here

ここで、tは指定した信頼水準のt値です。

次の等式

Equation shown here

z = x[i]を使って次のように表すことができます。

Equation shown here

ここで

Equation shown here

Equation shown here

Equation shown here

g、h、fの値に応じて、この不等式の解(すなわち、逆推定の信頼区間)は、次に示すような形式になります。

区間 (f1, f2)、ここでf1 < f2

互いに素な区間(−∞, f1) (f2, )、ここでf1 < f2

実線全体、(−∞, )

(, f)または(φ,)のいずれか

上記したFiellerの方法による逆推定の信頼区間が実線全体に渡る場合、代わりにWald法により信頼区間が求められます。

メモ: 「二変量の関係」のロジスティックプラットフォームと「モデルのあてはめ」の[名義ロジスティック]手法では、逆推定の信頼区間を計算する際にt値が使用されます。一方、「モデルのあてはめ」の[一般化線形モデル]手法とSAS/STATのPROC PROBITではz値が使用されるため、結果が異なります。

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