変化点検出の統計的詳細
ここでは、「多変量管理図」プラットフォームの［変化点の検出］オプションを詳しく取り上げます。ここでは、Sullivan and Woodall（2000）に沿って説明します。
仮定
平均ベクトルmi と共分散行列Si を持つ次元pの多変量分布をNp(mi,Si)とします。Xiは、次のような分布に従うm（ここで、m > p）個の独立した観測だと仮定します。
工程が安定しているなら、平均miと共分散行列Siは共通の値となり、xiがNp(m, S)の分布に従います。
時点m1と時点m1 + 1の間で、平均ベクトルと共分散行列のどちらか、または両方に1つの変化が生じたとしましょう。ここで、次のように仮定します。
• 時点1から時点m1まで、同じ平均ベクトルと同じ共分散行列(ma,Sa)になっている。
• 時点m1 + 1から時点mまで、同じ平均ベクトルと共分散行列(mb,Sb)になっている。
• 次のいずれかの処理が行われます。
– 平均が変化した場合。つまり、ma ¹ mbとなった場合。
– 共分散行列が変化した場合。つまり、Sa ¹ Sbとなった場合。
– 平均と共分散行列の両方が変化した場合。つまり、ma ¹ mb、およびSa ¹ Sbとなった場合。
概要
ここで採用されている尤度比検定の枠組みは、平均ベクトルと共分散行列のいずれか、または両方に生じた変化を検出するものです。尤度比検定統計量から、上側管理限界の近似値が1となるような、管理図の統計量が計算されます。この管理図の統計量は、m1の可能なすべての値に対してプロットされます。管理図の統計量が上側管理限界である1を超えた場合、それは、シフトが生じたことを示唆します。シフトが1つしか生じていないと仮定すると、そのシフトは、管理図の統計量が最大である時点の直後で生じたと考えられます。