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发布日期: 04/13/2021

V 形模板 CUSUM 控制图的统计详细信息

这些公式中使用了以下符号:

μ 表示总体均值,亦称过程均值或过程水平。

μ0 表示总体的目标均值(或目标)。有时用符号 Equation shown here 来表示 μ0。请参见 American Society for Quality Statistics Division (2004)。您可以将 μ0 用作启动窗口“CUSUM 图的已知统计量”区域中的“目标”。

σ 表示总体标准差。Equation shown here 表示 σ 的估计值。

σ0 表示已知的标准差。您可以将 σo 用作启动窗口“CUSUM 图的已知统计量”区域中的 Sigma。

n 表示 CUSUM 图的名义样本大小。

δ 表示要检测的 μ 中的偏移,表示为标准差的倍数。您可以将 δ 用作启动窗口“CUSUM 图的已知统计量”区域中的 Delta。

Δ 表示要检测的 μ 中的偏移,用数据单位表示。若样本大小 n 在各子组之间保持不变,则适用以下计算:

Equation shown here

您可以将 Δ 用作启动窗口“CUSUM 图的已知统计量”区域中的“偏移”。

注意:有些作者使用符号 D 而不是 Δ

单侧 CUSUM 图

正偏移

若要检测的偏移 δ 为正,第 t 个子组的累积和计算如下:

St = max(0, St – 1+ (ztk))

t = 1, 2,..., n,其中 S0 = 0,zt 针对双侧图定义,参数 k(称为参考值)为正数。若未在启动窗口中指定参数 k,则将 k 设置为 δ/2。将 CUSUM St 称为上累积和St 可计算如下:

Equation shown here

序列 St 对子组均值中距离 μ0 超过 k 个标准误差的偏差进行累积。若 St 超过正值 h(称为决策区间),则指示偏移或失控状况。

负偏移

若要检测的偏移为负,第 t 个子组的累积和计算如下:

St = max(0, St – 1 – (zt + k))

t = 1, 2,..., n,其中 S0 = 0,zt 针对双侧图定义,参数 k(称为参考值)为正数。若未在启动窗口中指定参数 k,则将 k 设置为 δ/2。CUSUM St 称为下累积和St 可计算如下:

Equation shown here

序列 St 对子组均值中距离 μ0k 个标准误差以内的偏差绝对值进行累积。若 St 超过正值 h(称为决策区间),则指示偏移或失控状况。

请注意,不论 δ 正负如何,St 始终为正,h 始终为正。对于设计用于检测负偏移的图,有些作者定义了 St 的相反版本,即:在 St 小于负限值时指示偏移。

Lucas and Crosier (1982) 描述了 CUSUM 图的快速初始响应 (FIR) 功能的属性,其中的初始 CUSUM S0 设置为“起始值”。他们给出的平均运行链长计算表明 FIR 功能在过程受控时影响极小,所以这导致对初始失控状况的响应速度比标准 CUSUM 图更快。您可以在启动窗口“CUSUM 图的已知统计量”区域中提供“初始值”。

常数样本大小

若子组样本大小为常数 (= n),最好按照与数据相同的单位来调整和计算累积和。累积和计算如下:

Equation shown here

其中,δ > 0

Equation shown here

其中 δ < 0。在任何一种情况下,参数 kEquation shown here 重新调整尺度。若未在启动窗口中指定参数 k,则将 k 设置为 δ/2。若 St 超过 Equation shown here 则指示偏移。某些作者用符号 H 来代替 h'。

双侧 CUSUM 图

若 CUSUM 图为双侧,为第 t 个子组标绘的累积和 St 如下所示:

St = St - 1 +zt

t = 1, 2,..., n。此处的 S0=0,项 zt 计算如下:

Equation shown here

其中,Equation shown here 是第 t 个子组的平均值,nt 是第 t 个子组的样本大小。若子组样本由单个测量值 xt 构成,项 zt 简化为以下计算:

zt = (xtμ0)/σ

第一个方程可重写为以下形式:

Equation shown here

其中,序列 St 对距离目标均值 μ0 的子组平均值标准差进行累积。

在许多应用中,子组样本大小 ni 为常数 (ni = n),St 的方程可简化如下:

Equation shown here

在某些应用中,最好按如下方式计算 St

Equation shown here

该式按照与数据相同的单位来调整尺度。在这种情况下,过程将 V 形模板参数 hk 的尺度分别重新调整为 Equation shown hereEquation shown here。某些作者用符号 F 代替 k',用 H 代替 h'。

若过程处于受控状态且均值 μ 达到目标 μ0 或接近该目标,则采用随机漫步模型。因此,点可能离开零,但是不会呈现大的趋势,因为距离 μ0 的正偏移量和负偏移量趋近于彼此抵消。若 μ 具有正向偏移量,则点呈现向上趋势;若 μ 具有负向偏移量,则点呈现向下趋势。

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