发布日期: 11/15/2021

奇异值分解

奇异值分解 (SVD) 允许您先后通过一次旋转、一次缩放以及另一次旋转的方式来表示任意线性变换。SVD 规定任何 n x p 的矩阵 X 可表示为:

Equation shown here

r 表示 X 的秩。用 Ir 表示 r x r 单位矩阵。

矩阵 U, Diag(Λ)V 具有以下属性:

Un x r 半正交矩阵且 UU = Ir

Vp x r 半正交矩阵且 VV = Ir

Diag(Λ) 是 r x r 对角矩阵,其正对角线元素由列向量 Λ = (λ1, λ2, ..., λr) 给出,其中 λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λr > 0。

λiX 的非零奇异值

下面说明了 SVD 与正方形矩阵的谱分解的关系:

λi 的平方是 XX 的非零特征值。

Vr 列是 XX 的特征向量。

注意:在文献中有关于矩阵 UV 以及包含奇异值的矩阵的维度的各种约定。但是,这些约定差异在 X 秩的范围内对分解没有实际影响。

有关奇异值分解的详细信息,请参见 Press et al.(1998, Section 2.6)。

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