Diseños Box-Behnken
¿Qué es un diseño Box-Behnken?
Los diseños Box-Behnken son un tipo clásico de diseño de superficie de respuesta que se construye utilizando un subconjunto de puntos de diseño de un diseño factorial, en el que cada factor se establece en tres niveles. Los diseños de Box-Behnken tienen puntos que se encuentran en los bordes de un hipercubo y a la misma distancia del centro. Evitan los puntos extremos y no pueden derivarse de diseños factoriales para la experimentación secuencial.
¿Cuándo se debe utilizar un diseño Box-Behnken?
Los diseños Box-Behnken se emplean en diseños de superficies de respuesta, donde los objetivos principales son la predicción y la optimización. Un diseño Box-Behnken puede resultar ventajoso cuando se necesita evitar combinaciones de valores extremos de los factores, como por ejemplo, ejecutar cada factor continuo en su nivel alto. En ocasiones, las ejecuciones que implican factores extremos resultan peligrosas, físicamente imposibles o demasiado costosas de ejecutar. Los diseños de Box-Behnken solo incluyen factores continuos.
Introducción a los diseños Box-Behnken
Los diseños Box-Behnken son un tipo de diseño clásico de modelos de superficie de respuesta (rsm) y se caracterizan por evitar los puntos extremos. Incluyen únicamente factores continuos que se evalúan en tres niveles: bajo, medio y alto, o -1, 0 y +1 en unidades codificadas.
Los diseños Box-Behnken tienen dos características distintivas: son giratorios (o casi giratorios) y son diseños esféricos. Los diseños giratorios son aquellos en los que la varianza de predicción tiene el mismo valor cuando el diseño se gira alrededor de su centro. Los diseños Box-Behnken son también diseños esféricos en los que todos los puntos de diseño se encuentran a la misma distancia del centro, a diferencia de los diseños cuboidales, en los que los extremos del cubo no son puntos de diseño. Pueden ser ventajosos cuando se necesita evitar puntos extremos debido al costo o a efectos secundarios indeseables. Sin embargo, la falta de puntos de diseño en los vértices del cubo da lugar a una mayor varianza de predicción cerca de los vértices, donde no hay datos. A continuación se muestra un diagrama de dispersión en 3D de los puntos de diseño para tres factores. Observe que no hay puntos de diseño en las esquinas del espacio de diseño.
Aprenda a construir un diseño Box-Behnken en JMP
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Cuando tenga varios tipos de factores además de los continuos (como factores categóricos, restricciones en el espacio de diseño, modelos no estándar o un presupuesto de ejecución personalizado), considere los diseños algorítmicos por su mayor flexibilidad.
Un ejemplo de diseño Box-Behnken
Supongamos que queremos optimizar el rebote de la pelota de tenis, que se mide como estiramiento, hasta un valor objetivo estandarizado. El rebote de la pelota de tenis puede variar en función de las cantidades de sílice, azufre y silano utilizadas durante la fabricación. El objetivo del experimento es mejorar el proceso de fabricación optimizando la configuración de factores para producir un estiramiento de 450. El estiramiento no puede estar por debajo de 350 ni por encima de 550 para fabricar un producto aceptable. Creemos que se requiere un modelo de segundo orden y seleccionamos un diseño Box-Behnken para evitar que los factores adopten valores extremos al mismo tiempo. Para crear un diseño Box-Behnken, primero elegimos el objetivo de la respuesta y los rangos de factores.
La respuesta y los factores son:
- Estiramiento: el objetivo de la respuesta es alcanzar un objetivo de 450, con un límite inferior de 350 y un límite superior de 550.
- Sílice: el rango del factor es de 0.7 a 1.7 (el punto medio es 1.2).
- Azufre: el rango del factor es de 1.8 a 2.8 (el punto medio es 2.3).
- Silano: el rango del factor es de 40 a 60 (el punto medio es 50).
Cada factor continuo se evalúa en valores bajos, medios y valores elevados en un diseño Box-Behnken para generar un modelo de segundo orden con términos cuadráticos y de interacción. Como ejemplo, el sílice se evalúa en 0.7, 1.2 y 1.7. Con tres factores continuos, seleccionamos un diseño Box-Behnken con 15 ejecuciones y tres puntos centrales. Hay 12 ejecuciones para examinar todas las combinaciones posibles de valores bajos y altos para cada par de factores, mientras que el tercer factor se mantiene en el nivel medio, además de los tres puntos centrales. A continuación se muestra la tabla de diseño aleatorio con la columna que indica el patrón de los puntos de diseño.
Con fines educativos, a continuación se muestra la misma tabla ordenada por la columna “patrón”. Observe cómo cada ejecución contiene uno de los factores en un valor intermedio, mientras que los otros dos factores se encuentran en un valor alto o bajo. Ninguna de las ejecuciones se encuentra en los extremos del espacio de diseño donde se dan combinaciones de factores extremos, tales como +++, --- o +--. Esta es una característica de un diseño Box-Behnken.
Los valores de estiramiento se registran en la tabla de datos después de que el experimento se ejecuta siguiendo el orden de corrida del diseño aleatorizado original.
Para analizar los datos experimentales, utilizaremos regresión lineal múltiple para ajustar el modelo estadístico inicial “completo” especificado para estiramiento. Los términos del modelo incluyen los siguientes para un modelo de segundo orden:
- Interceptar.
- Tres efectos principales (sílice, azufre y silano).
- Tres interacciones de dos factores.
- Tres efectos cuadráticos.
Los efectos inactivos se eliminan del modelo mediante la selección de variables. Los efectos activos son términos que tienen una significación estadística e influyen en las respuestas. Al examinar el resumen de efectos del modelo con los efectos activos, observamos que la curvatura es un efecto activo para el azufre y el sílice con el término cuadrático. También existen interacciones activas entre el sílice y el azufre, así como entre el azufre y el silano.
Analicemos el modelo reducido de estiramiento a continuación, observando las secciones transversales de la superficie, o perfiles. Podemos ver el efecto cuadrático activo en el azufre y el sílice con los perfiles curvos. Vemos que el silano, sin un efecto cuadrático activo, es lineal. Actualmente, con los factores fijados en sus respectivos puntos medios, prevemos un estiramiento de 396.15. Queremos optimizar para encontrar una combinación de ajustes de los factores que produzca un estiramiento de 450.
En este ejemplo, si se ajusta el sílice a 1.06, el azufre a 1,.91 y el silano a 43.82, se prevé que se alcance el objetivo de 450 para el estiramiento. Es posible que existan otras combinaciones de factores que den lugar a resultados similares.
