发布日期: 04/13/2021

离散拟合分布

本节包含“离散拟合”菜单中的选项的统计详细信息。

拟合 Poisson

Poisson 分布只有一个尺度参数 λ > 0。

pmf:     Equation shown here        0  λ < ;   x = 0,1,2,...

E(x) = λ

Var(x) = λ

由于 Poisson 分布是离散分布,叠加的曲线是一个阶梯函数,该函数在每个整数处跳跃。

拟合负二项

负二项分布用于对指定失败次数之前的成功次数建模。以下参数化包含均值参数 λ 和散度参数 σ

pmf:     Equation shown here

E(x) = λ

Var(x) = λ + σλ2

其中,Γ(·) 是 Gamma 函数。

负二项分布与 Gamma Poisson 分布之间的关系

负二项分布等价于 Gamma Poisson 分布。Gamma 分布对于以下情况很有用:数据是多个 Poisson(μ) 分布的组合,每个 Poisson(μ) 分布都具有不同的 μ

Gamma Poisson 分布的假设前提是:x|μ 服从 Poisson 分布,μ 服从 Gamma(α,τ) 分布。Gamma Poisson 包含参数 λ = ατσ = τ+1。参数 σ 是一个离散参数。若 σ > 1,则出现过度离散,这意味着 x 的变异比 Poisson 分布本身所解释的要大。若 σ = 1,x 将简化为 Poisson(λ)。

pmf:     Equation shown here        0 < λ;   1 ≤ σ;   x = 0,1,2,...

E(x) = λ

Var(x) = λσ

其中,Γ(·) 是 Gamma 函数。

Gamma Poisson 等价于 σnegbin = (σgp - 1) / λgp 的负二项分布。

运行 JMP Samples/Scripts 文件夹中的 demoGammaPoisson.jsl,比较带有参数 λσ 的 Gamma Poisson 分布与带有参数 λ 的 Poisson 分布。

拟合零泛滥 Poisson

零泛滥 (ZI) Poisson 分布的尺度参数 λ > 0,零泛滥参数为 π

pmf:     Equation shown here

E(x) = (1 - π)λ

Var(x) = λ(1 - π)(1 + λπ)

拟合零泛滥负二项

零泛滥 (ZI) Poisson 负二项分布的尺度参数 λ > 0,散度参数 σ > 0,零泛滥参数为 π

pmf:     Equation shown here

E(x) = (1 - π)λ

Var(x) = λ(1 - π)[1 + λ(σ + π)]

拟合二项

“拟合二项”选项接受两种格式的数据:常数样本大小或包含样本大小的列。

pmf:     Equation shown here        0  p  1;   x = 0,1,2,...,n

E(x) = np

Var(x) = np(1-p)

其中,n 是独立试验数。

注意:二项参数的置信区间是得分区间。请参见 Agresti and Coull (1998)。

拟合 Beta 二项

beta 分布对于以下情况很有用:数据是多个 Binomial(p) 分布的组合,每个 Binomial(p) 分布都具有不同的 p。从多个生产线组合而来的缺陷总数就是这样的例子,此时缺陷数均值 (p) 在不同生产线之间是不同的。

Beta 二项分布的假设前提是:x|π 服从 Binomial(n,π) 分布,π 服从 Beta(α,β) 分布。beta 二项分布具有参数 p = α/(α+β) 和 δ = 1/(α+β+1)。参数 δ 是一个离散参数。若 δ > 0,则出现过度离散,这意味着 x 的变异比二项分布本身所解释的要大。若 δ < 0,则出现离散不足。若 δ = 0,x 呈 Binomial(n,p) 分布。仅当 n  2 时才存在 beta 二项分布。

pmf:     Equation shown here

Equation shown here;   Equation shown here;   x = 0,1,2,...,n

E(x) = np

Var(x) = np(1-p)[1+(n-1)δ]

其中,Γ(·) 是 Gamma 函数。

请记住 x|π ~ Binomial(n,π),同时 π ~ Beta(α,β)。参数 p = α/(α+β) 和 δ = 1/(α+β+1) 由该平台估计得出。要得到 αβ 的估计值,请使用以下公式:

Equation shown here

Equation shown here

δ 的估计值为 0,则该公式无效。在这种情况下,beta 二项分布简化为 Binomial(n,p) 分布,而且 Equation shown here 是 p 的估计值。

beta 二项参数的置信区间是边侧似然区间。

运行 JMP Samples/Scripts 文件夹中的 demoBetaBinomial.jsl,比较带有离散参数 δ 的 beta 二项分布与带有参数 p 且 n = 20 的二项分布。

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