发布日期: 04/13/2021

容差区间

本节包含单侧和双侧容差区间的统计详细信息。

基于正态分布的区间

单侧区间

单侧区间计算如下:

下限 =Equation shown here

上限 =Equation shown here

其中

Equation shown here

s 是标准差

t 是非中心 t 分布的分位数

Φ-1 是标准正态分位数

双侧区间

双侧区间计算如下:

Equation shown here

其中,s 是标准差并且 g(1-α/2; p,n) 是常数。

要确定 g,请考虑容差区间覆盖的总体中所占比例。Tamhane and Dunlop (2000) 按如下方式给出该比例:

Equation shown here

其中,Φ 表示标准正态 cdf(累积分布函数)。

因此,g 可对以下方程求解:

Equation shown here

其中,1 - γ 是容差区间中包含的全部将来观测的比例。

有关基于正态分布的容差区间的详细信息,请参见 Meeker et al.(2017) 中的表 J.1a、J.1b、J.6a 和 J.6b。

非参数区间

单侧下限

100(1 - α)% 单侧容差下限(包含至少比例为 β 的来自样本大小 n 的抽样分布)是次序统计量 x(l)指数 l 计算如下:

Equation shown here

其中,Φ-1bin(1-αnβ) 是试验次数为 n 且成功概率为 β 的二项分布的第 (1 - α) 分位数。

实际置信水平计算为 Φbin(n-lnβ),其中 Φbin(xnβ) 是试验次数为 n 且成功概率为 β 的二项分布随机变量小于等于 x 的概率。

请注意,要计算单侧分布自由的容差区间的下限,样本大小 n 必须至少与 Equation shown here 一样大。

单侧上限

100(1 - α)% 单侧容差上限(包含至少比例为 β 的来自样本大小 n 的抽样分布)是次序统计量 x(u)指数 u 的计算方式如下:

Equation shown here

其中,Φ-1bin(1-αnβ) 是试验次数为 n 且成功概率为 β 的二项分布的第 (1 - α) 分位数。

实际置信水平计算为 Φbin(u-1, nβ),其中 Φbin(xnβ) 是试验次数为 n 且成功概率为 β 的二项分布随机变量小于等于 x 的概率。

请注意,要计算单侧分布自由的容差区间的上限,样本大小 n 必须至少与 Equation shown here 一样大。

双侧区间

100(1 - α)% 双侧容差区间(包含至少比例为 β 的来自样本大小 n 的抽样分布)计算如下:

Equation shown here

其中,x(i) 是第 i 个次序统计量,lu 计算如下:

ν = n - Φ-1bin(1-αnβ),其中 Φ-1bin(1-αnβ) 是试验次数为 n 且成功概率为 β 的二项分布的第 (1 - α) 个分位数。若 ν 小于 2,则无法计算双侧分布自由的容差区间。若 ν 大于等于 2,则 l = floor(ν/2) 且 u = floor(n + 1 - ν/2)。

实际置信水平计算为 Φbin(u-l-1, nβ),其中 Φbin(xnβ) 是试验次数为 n 且成功概率为 β 的二项分布随机变量小于等于 x 的概率。

请注意,要计算双侧分布自由的容差区间,样本大小 n 必须至少与以下等式中的 n 一样大。

Equation shown here

有关分布自由的容差区间的详细信息,请参见 Meeker et al.(2017, sec.5.3)。

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