连续分布的统计详细信息
本节包含“分布”平台的“连续拟合”菜单中的选项的统计详细信息。除非另有规定，参数估计值的置信区间使用基于似然的计算。有关基于似然的置信区间的详细信息，请参见《预测和专业建模》中的“Statistical Details for Profile Likelihood Confidence Limits”。若 Y 列具有“检测限值”列属性，则“连续拟合”选项拟合删失分布，并且只有部分分布可用。有关拟合删失数据的分布的详细信息，请参见 Meeker and Escobar (1998)。
正态
正态分布通过两个参数定义：
• m（均值）定义分布在 x 轴上所处的位置
• s（标准差）定义分布的离散或散布程度
当 m = 0 且 s = 1 时出现标准正态分布。
pdf: 
; 
; 0 < s
E(x) = m
Var(x) = s2
注意：均值估计值的置信区间基于 t 分布。尺度参数的置信区间基于 c2 分布。
Cauchy
Cauchy 分布是一种单峰、对称分布，其尾部比正态分布更厚。Cauchy 分布由两个参数定义：位置 m 和尺度 s。
pdf: 
; 
; 0 < s
E(x) = 未定义
Var(x) =未定义
Student t
Student t 分布由三个参数定义：位置 m、尺度 s 和自由度 n。
pdf: 
; 
; 0 < s; 1 ≤ n
E(x) = m 1 < n
Var(x) = s2n/(n-2) 2 < n
注意：当 n = 1 时，Student t 分布等价于 Cauchy 分布。
SHASH
sinh-arcsinh (SHASH) 分布基于变换了的正态分布，它将正态分布作为特例包括在内。该分布可以对称也可以非对称。SHASH 分布由四个参数定义：位置 q、尺度 s 以及两个形状参数 g 和 d。有关 SHASH 分布的详细信息，请参见 Jones and Pewsey (2009)。
pdf: 
; 0 < d, s
其中
是标准正态 pdf
• 当 g = 0 且 d = 1 时，SHASH 分布等价于位置为 q 且尺度为 s 的正态分布。
• 变换 sinh(w) 服从 m = 0 且 s = 1 的正态分布。
ZI SHASH
零泛滥 (ZI) sinh-arcsinh (SHASH) 分布是点质量为 0 的 SHASH 分布。该分布可以对称也可以非对称。零泛滥 SHASH 分布由五个参数定义：位置 q、尺度 s、两个形状参数 g 和 d，以及零泛滥比例 p。
pdf: 
; 0 < d, s
其中
是标准正态 pdf
注意：零泛滥 SHASH 分布参数估计值的置信区间使用基于 Wald 的计算。
指数
指数分布尤其适用于描述随时间随机出现的事件，如生存数据。指数分布可能还适用于对不重叠事件各次出现之间经过的时间进行建模。不重叠事件的示例包括以下几项：用户计算机查询与服务器响应之间的时间、客户先后到达服务台相隔的时间，或是传入交换机的各次呼叫之间的时间。
“指数”分布是双参数 Weibull 在 b = 1 且 a = s 时的特例，也是 Gamma 分布在 a = 1 时的特例。
pdf: 
0 < s; 0 ≤ x
E(x) = s
Var(x) = s2
Devore (1995) 提出指数分布是无记忆的。无记忆意味着若您在 t 小时后检查某个部件，而该部件仍然在运转，此时附加寿命时间的分布（该部件一直存活到 t 时刻情形下的附加寿命的条件概率）与原始分布相同。
ExGaussian
ExGaussian 分布是正态分布与指数分布合起来的分布。ExGaussian 分布由位置 m 和尺度 s（正态分布的参数）以及指数分布参数 l 共同定义。
pdf: 
; 
; 0 < s, l
其中，F(·) 是标准正态 cdf。
E(x) = m + 1/l
Var(x) = s2 + 1/l2
有关指数修正 Gaussian 分布的详细信息，请参见 Ament et al.(2019) 和 Palmer et al.(2011)。请注意，该分布的指数部分的参数化在某些来源中有所不同。“拟合 ExGaussian”选项中的参数化使用“分布”平台的“拟合指数”选项中使用的参数化的倒数。
Gamma
gamma 分布由两个参数定义：形状 a 和尺度 s（且均为正）。该分布仅限于正值数据。
pdf: 
0 < x; 0 < a,s
E(x) = as
Var(x) = as2
• 标准 gamma 分布的 s = 1。1 之外的值将沿着水平轴延展或收缩分布。
• 卡方 
分布是 gamma 分布在 s = 2 且 a = n/2 时的特例。
• 指数分布是 gamma 分布在 a = 1 时的特例。
当 a ≤ 1 时，标准 gamma 密度函数严格递减。当 a > 1，密度函数从 0 开始，增加到最大值，然后递减。
对数正态
对数正态分布通过两个参数定义：尺度 m 和形状 s。当且仅当 X = ln(Y) 服从正态分布时，变量 Y 服从对数正态分布。该分布仅限于正值数据。
pdf: 
; 
; 0 < s
E(x) = 
Var(x) = 
Weibull
Weibull 分布通过两个参数定义：尺度 a 和形状 b。它通常为估计寿命（特别是机械设备和生物方面）提供合适的模型。
Weibull 分布的 pdf 定义如下：
pdf: 
a,b > 0; 0 < x
E(x) = 
Var(x) = 
其中，G(·) 是 Gamma 函数。
最小极值
最小极值 (SEV) 分布通过两个参数定义：位置 m 和尺度 s。SEV 分布是一种非对称的左偏分布，该分布在标准差相对于均值较小时非常有用。该分布亦称 Gumbel 分布。
pdf: 
; ; 0 < s
E(x) = 
Var(x) = 
其中
以及 g 是 Euler 常数。
最大极值
最大极值 (LEV) 分布由两个参数定义：位置 m 和尺度 s。LEV 分布是一种非对称的右偏分布，该分布通常用于对自然极端现象建模，如灾难性洪水高度或极端风速。该分布亦称 Gumbel 分布。
pdf: 
; ; 0 < s
E(x) = 
Var(x) = 
其中
以及 g 是 Euler 常数。
两正态混合和三正态混合
两正态混合和三正态混合分布由两个或三个位置 mi、尺度 si 和比例 pi 参数集定义。这些灵活的分布能够拟合双模态或多模态数据。
pdf: 
E(x) =
Var(x) =
其中，mi、si 和 pi 分别是第 i 个组的均值、标准差和比例；f(·) 是标准正态 pdf；k 是混合中的正态分布的个数。
注意：正态混合分布参数估计值的置信区间使用基于 Wald 的计算。
Johnson
Johnson 分布体系包含三种基于变换正态分布的分布。这三种分布如下：
• Johnson Su，无界并且由四个参数定义：位置 q、尺度 s 以及两个形状参数 g 和 d。
• Johnson Sb，双侧均有界限并且由四个参数定义：位置 q、尺度 s 以及两个形状参数 g 和 d。
• Johnson Sl，单侧有界限并且由三个参数定义：尺度 s 以及两个形状参数 g 和 d。Johnson Sl 系列包含一系列对数正态分布。
仅报告最佳拟合 Johnson 分布的拟合。有关 Johnson 分布的选择过程和参数估计的信息，可以在 Slifker 和 Shapiro (1980) 中找到。参数估计不使用最大似然。
Johnson 分布十分灵活，所以很受欢迎。特别是，Johnson 分布体系以其数据拟合能力闻名，因为它支持偏度和峰度的每种可能组合。不过，SHASH 分布也是非常灵活的，相对于 Johnson 分布，优先推荐使用 SHASH 分布。
若 Z 是标准正态变量，则该体系定义如下：
其中，对于 Johnson Su：
其中，对于 Johnson Sb：
对于 Johnson Sl，其中 s = ±1。
Johnson Su
pdf: 
-∞ < x, q, g < ∞; 0 < q,d
Johnson Sb
pdf: 
q < x < q+s; 0 < s
Johnson Sl
pdf: 
q < x 若 s = 1; q > x 若 s = -1
其中 f(·) 是标准正态 pdf。
注意：Johnson 分布参数估计值的置信区间使用基于 Wald 的计算。
Beta
Beta 分布由两个形状参数定义：a > 0 和 b > 0。beta 分布在 0 到 1 的区间内取值。该分布适用于对限制在 0 到 1 区间内的随机变量的行为建模。例如，比例总是介于 0 和 1 之间。
pdf: 
0 < x < 1; 0 < s,a,b
E(x) = 
Var(x) = 
其中 B(·) 是 Beta 函数。
AICc 和 BIC
在“比较分布”报表中，“分布”列表包括 AICc 和 BIC 准则。
AICc 和 BIC 的公式定义如下：
AICc =
BIC = 
其中：
‒ logL 是对数似然。
‒ n 是样本大小。
‒ k 是参数个数。
“AICc 权重”列显示加总为 1 的标准化 AICc 值。AICc 权重可解释为在其中的一个拟合分布成立的前提下，特定分布为真实分布的概率。因此，AICc 权重最接近 1 的分布是更好的拟合。仅使用非缺失 AICc 值计算 AICc 权重：
AICc 权重 = exp[-0.5(AICc-min(AICc))] / sum(exp[-0.5(AICc-min(AICc))])
其中，min(AICc) 是拟合分布中的最小 AICc 值。
有关“比较分布”报表中的测度的详细信息，请参见《拟合线性模型》中的“Likelihood, AICc, and BIC”。