等高線

グラフビルダーの［等高線］()は、データの密度の等高線（または色分け変数を使用している場合はその変数の値の等高線）を表示します。密度等高線は、散布図においてプロットする点の個数が多すぎて、密度のパターンが読み取りにくい場合などに有用です。等高線の種類としては、複数のものが用意されています。デフォルトは、データ点の密度を反映した、滑らかな二変量のノンパラメトリック密度です。ノンパラメトリック密度の等高線は、各点における二変量の確率密度関数をカーネル密度法で推定したものです。二変量に対するカーネル密度推定は、「二変量に対するヒストグラムを連続的にしたもの」と喩えることができるでしょう。

• デフォルトでは、2つの連続変数に対し、4本の等高線がプロットされます。デフォルトでは、100%,　75%, 50%, 25%という4本の等高線がプロットされます。表示する等高線の本数を変更することもできます。別の種類として、バッグプロットまたは最高密度領域の等高線を選択できます。

• 1つの連続変数だけに対する等高線図としてはは、等高線ではなくバイオリンプロットが描かれます。バイオリンプロットは、カーネル密度推定法で得られた密度を縦軸に対して対称にプロットします。一変量に対するカーネル密度推定は、「一変量に対するヒストグラムを連続的にしたもの」と喩えることができるでしょう。バイオリンプロットは、箱ひげ図と似たような使い方をできます。箱ひげ図では箱とひげでデータの分布を描きますが、バイオリンプロトでは左右対称のカーネル密度でデータの分布を描きます。別の種類として、最高密度領域の等高線を選択できます。

• 等高線図を描いている状況で色分け変数も指定されると、色分け変数の値を反映した等高線が表示されます。この時、色分け変数の値の等高線は、Delaunayの三角分割から計算されます。「変換」オプションにおいて、XとYの範囲により正規化するかどうかを選択できます。

「等高線」のオプション

図3.29 等高線図またはバイオリンプロットの「等高線」のオプション 

塗りつぶし

（バッグプロットでは使用不可）等高線内を塗りつぶします。

線

（バッグプロットでは使用不可）等高線の線を追加します。

水準数

（ノンパラメトリック密度でのみ使用可能）密度等高線で、表示される等高線の数を指定します。指定できる等高線の数は1～1000で、デフォルトは4です。

境界線

（色分け変数がある場合のみ使用可能）グラフの外周の線を追加します。

アルファ

（色分け変数がある場合のみ使用可能）境界の形状を制御します。アルファの値を大きくすると、補間が望ましくないと思われる、長い、細い、または大きな三角形が削除されます。

滑らかさ

（バッグプロットでは使用不可）等高線図の境界線を滑らかにします。滑らかさの値は-1～1に正規化されます。この値は、平滑化に用いるカーネル関数の動径に対応しています。まず元データが碁盤目のグリッド上の値に補間により変換され、その後、そのグリッド上の値にGaussカーネルに基づく平滑化が適用されます。

変換

（色分け変数がある場合のみ使用可能）［範囲による正規化］を選択すると、XとYに対して範囲により正規化したスケールを用いて三角分割が行われます。このオプションは、Delaunayの三角分割を計算する前に、X変数とY変数の両方を［0,1］に尺度化します。XとYの単位が大きく異なる場合は、このオプションが有効です。この場合、点が一方向にのみ伸びていると、Delaunay三角分割によってその方向に伸びた細長い三角形が作られていきますが、細長い三角形が作らるのを避けようとして、一部の特徴がわかりにくくなるためです。

等高線の種類

等高線の種類を選択します。

ノンパラメトリック密度

（二変量の散布図でのみ使用可能）滑らかな二変量のノンパラメトリック密度面を描画します。

バッグプロット

バッグプロットを描画します。これは「二変量の箱ひげ図」として知られています。バッグプロットは、2つの多角形、外れ値の点、および中央値の点で構成されます。まずデータの各点における「Tukeyの深さ」（二変量の深さ）が計算され、それに基づいて他の計算も行われます。中央値の点は、最大の深さにおけるすべての点の平均であり、アスタリスクで表示されます。内側の多角形がバッグで、最大でデータ点の50%を含みます。そして、中央値の点に対してバッグの多角形を3倍に広げたフェンス（fence）が計算されます。ただし、このフェンスは、プロットには表示されません。外側の多角形は、フェンス内に含まれるすべての点に対する凸包です。これはループ（loop）と呼ばれています。フェンスの外側にある点は外れ値とみなされ、プロット上には点として表示されます。バッグプロットの詳細については、Rousseeuw（1999）を参照してください。

最高密度領域

一変量に対しては最高密度領域の長方形、二変量のデータに対しては最高密度領域の等高線を描画します。陰影の薄い領域は99%の確率領域を表し、濃い領域は50%の確率領域を表します。（これらの領域は不連続の場合もあり、正確に入力データの50%または99%が含まれているのではない可能性があります。）50%の確率領域内の最頻点は、線（一変量データ）またはアスタリスク（二変量データ）で示されます。グラフに点の要素を重ねて描いていなくても、最高密度領域で点が表示される場合、それらは99%の確率領域からの外れ値を表します。この領域の滑らかさは、「滑らかさ」オプションを使用して調整できます。

まず元データが碁盤目のグリッド上の値に補間により変換され、その後、そのグリッド上の値にGaussカーネルに基づきノンパラメトリック密度が計算されます。そのノンパラメトリック密度から最高密度領域は計算されます。最高密度領域の滑らかさを決めるデフォルトのバンド幅は、次式で計算されます。

推定されたノンパラメトリック密度から、同じ累積確率となる等高線を求めるのに、等間隔に配置されたビンが使われます。そのビンを用いて、累積確率が同じになるように領域を分割して、等高線は描かれます。最高密度領域の詳細については、Hyndman（1996）を参照してください。

バイオリン

（一変量プロットでのみ使用可能）カーネル法で求めれたノンパラメトリック密度を縦軸に対して対称にプロットすることで、データの密度を表わすバイオリンプロットを描画します。この密度は、最高密度領域と同じ手順で計算されます。

点をずらす

点をずらして表示します。データにランダムな誤差を追加し、点の重なりを減らします。点をずらす機能に関するオプションについては、点を参照してください。

外れ値

（バッグプロットと最高密度領域の等高線で使用可能）外れ値をプロットします。

バイオリンのスケール

バイオリンプロットが複数ある場合の、スケールのオプションを選択できます。等面積または等幅は、バイオリンの面積または最大幅が同じになることを意味します。重み付き面積は、バイオリンの面積が各バイオリンの標本サイズ（観測数）に比例することを意味します。

変数

グラフ要素の変数の表示と非表示を切り替えたり、変数の表示順を変更したりします。

メモ: これらのオプションは、「グループX」、「グループY」、「段組」、「ページ」の各ゾーンの変数には適用されません。

チェックボックスの右に、その変数のゾーンと列名が表示されます。チェックボックスを使って次の操作を実行できます。

– ゾーンの変数に対応する要素の表示と非表示を切り替える。

– 変数を「色」、「サイズ」、「地図シェープ」、または「度数」に指定したときの効果をオンまたはオフにする。

ヒント: 複数のグラフがある場合、各グラフの色やサイズに異なる変数を使用できます。2つ目の変数を「色」または「サイズ」ゾーンにドラッグし、その隅にドロップします。「変数」のオプションで、使用したい色やサイズの変数を選択し、各グラフに適用します。

ゾーン内に複数の変数がある場合は、矢印を使ってそれらの表示順を変更できます。変数名を強調表示し、矢印をクリックすると、その変数の位置が変わります。

変数オプションの詳細については、面グラフと折れ線グラフの例を参照してください。

「等高線」の赤い三角ボタンのメニューオプション

軸のスケールに合わせる

軸のスケールが対数などに変更されている場合、変換後のデータに対してカーネル密度推定や補間を行います。

等高線の配置

（グループ変数がある場合に使用可能）等高線を揃えたり、ずらしたりできます。