離散分布のあてはめ

ここでは、［離散分布のあてはめ］メニューで用意されている統計分布について説明します。

Poisson

Poisson分布では、尺度パラメータλ > 0が推定されます。

確率関数:

ただし

; x = 0,1,2,...

E(x) = λ

Var(x) = λ

Poisson分布は離散分布なので、分布関数は整数ごとに変化する階段関数になります。

ガンマPoisson

ガンマPoisson分布は、平均μが異なる複数のPoisson分布から、データが生成されているときに役立ちます。例として、複数の交差点で発生した事故の発生数などが挙げられます。この場合、各交差点における事故発生数の平均（μ）は、交差点によって異なると考えられます。

ガンマPoisson分布は、x|μが平均μのPoisson分布に従い、その平均がパラメータ(α,τ)のガンマ分布に従うという仮定から導出できます。ガンマPoisson分布には、λ=ατとσ=τ+1の2つのパラメータがあります。パラメータσは過分散パラメータです。σ > 1の場合は、過大分散、つまり通常のPoisson分布よりも分散が大きくなります。σ = 1の場合、xの分布は平均λのPoisson分布になります。

確率関数:

ただし

;

; x = 0,1,2,...

E(x) = λ

Var(x) = λσ

上の式で、

はガンマ関数です。

前述のとおり、x|μは平均μのPoisson分布に従い、μはパラメータ(α,τ)のガンマ分布に従っていると仮定されています。このプラットフォームでは、λ=ατおよびσ=τ+1がパラメータとして推定されます。αとτの推定値は、次式により計算できます。

ただし、σの推定値が1の場合は、上記の式を使用できません。その場合、ガンマPoisson分布は平均λのPoisson分布に等しくなり、

がそのλの推定値となります。

αの推定値が整数の場合、ガンマPoisson分布は、次の確率関数を持つ負の二項分布に等しくなります。

ただし

ここでr = αおよび(1-p)/p = τ

「Samples/Scripts」フォルダの中の「demoGammaPoisson.jsl」を実行すると、パラメータλとσのガンマPoisson分布とパラメータλのPoisson分布を比較できます。

二項

［二項］オプションでは、一定の標本サイズか、標本サイズを含む列のいずれかを指定することができます。

確率関数:

ただし

; x = 0,1,2,...,n

E(x) = np

Var(x) = np(1-p)

上の式で、nは独立した試行の回数を示します。

メモ: 二項分布のパラメータに対する信頼区間の計算には、スコア信頼区間が使用されています。Agresti and Coull（1998）を参照してください。

ベータ二項

ベータ二項分布は、確率πが異なる複数の二項分布から、データが生成されているときに役立ちます。たとえば、複数の製造ラインにおける不適合品の個数などが挙げられます。この場合、不適合となる確率（π）は、製造ラインによって異なると考えられます。

ベータ二項分布は、x|πが二項分布(n,π)に従い、πがベータ分布(α,β)に従うという仮定から導出できます。ベータ二項分布には、p = α/(α+β)とδ = 1/(α+β+1)の2つのパラメータがあります。パラメータδは、過分散パラメータです。δ > 0の場合は、過大分散、つまり通常の二項分布よりも分散が大きくなります。δ < 0の場合は、過小分散です。δ = 0の場合、xは二項分布(n,p)に従います。ベータ二項分布は、

の場合にのみ存在します。