連続分布のあてはめ

ここでは、［連続分布のあてはめ］メニューで用意されている統計分布について説明します。

［正規］オプションを選択すると、正規分布のパラメータが推定されます。正規分布は、分布が左右対称で、ほとんどのデータが中央にある分布です。正規分布は、負の値や小数点などが、データにあってもかまいません。［正規］を選択し、正規分布がデータにどれほど良くあてはまるかを調べてみることができます。

正規分布には、次のパラメータがあります。

•

μ（平均）は、X軸上での分布の位置を定義します。

•

σ（標準偏差）は、分布のばらつきまたは広がりを定義します。

標準正規分布では

、

です。「パラメータ推定値」レポートには、μとσの推定値、および上側と下側の95%信頼限界が表示されます。

確率密度関数:

ただし

;

; 0 < σ

E(x) = μ

Var(x) = σ2

対数正規

［対数正規］オプションを選択すると、2パラメータの対数正規分布があてはめられ、パラメータμ（尺度）とσ（形状）が推定されます。対数正規分布に従う変数Yを、

と変換すると、Xは正規分布に従います。データはゼロより大きくなければなりません。

E(x) =

Var(x) =

Weibull、閾値つきWeibull、極値

Weibull分布は、α（尺度パラメータ）とβ（形状パラメータ）によって決められる分布です。特に機械装置や生物学上の寿命を推定するときのモデルとしてよく使用されます。

Weibull分布および閾値つきWeibull分布の確率密度関数は、次のような式で計算されます。

確率密度関数:

ただし α,β > 0;

E(x) =

Var(x) =

上の式で、

はガンマ関数です。

［Weibull］オプションでは、閾値パラメータ（θ）が0に設定されます。［閾値つきWeibull］オプションでは、データの最小値を使って閾値パラメータ（θ）を推定し、残りのデータを使ってαとβを推定します。閾値パラメータが既知の場合は、［分布パラメータの指定］オプションで、その値を指定してください。第 “あてはめた分布のオプション”を参照してください。

メモ: 「寿命の一変量」プラットフォームでは、「一変量の分布」プラットフォームと異なる方法で、閾値つきWeibull分布の閾値パラメータを推定しています。閾値つきWeibull分布の推定には、「寿命の一変量」プラットフォームの推定方法のほうが適しています。『信頼性/生存時間分析』の「寿命の一変量」章を参照してください。

［極値］分布は、2パラメータのWeibull分布における(α,β)を、δ = 1 / βおよびλ = ln(α)に変換した分布です。

指数

指数分布は、工業製品の故障時間や、生物学分野の生存時間を分析するときに使われています。また、あるイベントが生じる間隔をモデル化するのにも使われます。たとえば、コンピュータのサーバーにクエリーが送られてくる時間、お客様がサービスカウンターに来る間隔、交換機が着信する間隔などです。

βが1であるWeibull分布は、指数分布です（このとき、Weibull分布のαは、指数分布のσに対応しています）。また、αが1であるガンマ分布も、指数分布です。

確率密度関数:

ただし 0 < σ;

E(x) = σ

Var(x) = σ2

Devore（1995）などによると、指数分布は無記憶性の分布です。「無記憶性」とは、t時間後にまだ正常に機能している部品の、t時点以降での生存時間分布（t時点以降の生存時間の条件付き分布）が、元の生存時間分布と同じになることです。

ガンマ

［ガンマ］オプションを選択すると、ガンマ分布があてはめられ、α > 0、σ > 0 というパラメータが推定されます。αは分布の形状を、 σは分布の尺度を表します。「閾値」（θ）と呼ばれる3番目のパラメータは、分布の下限値を示します。この閾値パラメータは、デフォルトでは0に設定されていますが（負のデータ値がない場合）、［分布パラメータの指定］オプションを選択すれば、任意の値に変更できます。第 “あてはめた分布のオプション”を参照してください。

確率密度関数:

ただし

; 0 < α,σ

E(x) = ασ + θ

Var(x) = ασ2

•

σ = 1の時のガンマ分布は、標準ガンマ分布と呼ばれています。σを変更すると、分布がX軸に沿って伸縮します。このようなパラメータは、一般に、尺度パラメータと呼ばれています。

•

σ = 2、α = ν/2、θ = 0のときのガンマ分布は、カイ2乗分布

になります。

•

α = 1、θ = 0のときのガンマ分布は、指数分布になります。

ガンマ分布の密度関数は、

の場合、常に減少します。

の場合、0 から最大値に達するまで増加した後、減少します。

ベータ

ベータ分布の中で、標準ベータ分布は、（0, 1）の区間しか取りません。標準ベータ分布は、割合などの0から1の範囲に収まるデータに対してよく使われています。［ベータ］オプションを選択すると、ベータ分布の2つの形状パラメータα > 0、β > 0が推定されます。また、「一変量の分布」であてはめられるベータ分布は4パラメータのベータ分布であり、下限と上限を決めるθとσというパラメータも同時に推定されます。この4パラメータのベータ分布では、

の区間にのみ値があります。θは最小値、σは範囲を表しています。標準ベータ分布は、θ = 0、σ = 1 です。

［分布パラメータの指定］オプションを選択すれば、パラメータを任意の値に設定できます。その際、上側の閾値はデータの最大値以上、下側の閾値はデータの最小値以下にしなければなりません。［分布パラメータの指定］オプションの詳細については、第 “あてはめた分布のオプション”を参照してください。

確率密度関数:

ただし

; 0 < σ,α,β

E(x) =

Var(x) =

上の式で、

はベータ関数です。

正規混合分布法

［正規混合］オプションでは、正規分布の混合分布をあてはめます。多峰性の分布にも対応した柔軟な分布です。

2つもしくは3つの正規分布の混合分布をあてはめるには、［二重正規混合］もしくは［三重正規混合］オプションをそれぞれ選択します。または、［その他］オプションを選択して、k個の正規分布の混合分布をあてはめることもできます。グループごとに1つずつ個別の平均、標準偏差、全体に占める割合が推定されます。

確率密度関数:

E(x) =

Var(x) =

上の式で、μi、σi、πiはそれぞれ、第i群の平均、標準偏差、割合です。

は標準正規分布の確率密度関数です。

平滑曲線

［平滑曲線］オプションは、ノンパラメトリックな密度の推定値（カーネル密度推定）を計算し、平滑曲線をあてはめます。ヒストグラム上に平滑曲線が表示され、プロットの下にスライダが表示されます。スライダを使ってカーネル標準偏差を変更することで、平滑化の度合いを調節できます。［カーネル標準偏差］の初期値は、データの標準偏差に基づいて算出されます。

SHASH

［SHASH］オプションは、sinh-arcsinh分布（正弦-逆正弦分布; SHASH分布）をあてはめます。SHASH分布は、正規分布に簡単に変換することができ、また正規分布を特殊なケースとして含んでいます。SHASH分布は、対称な分布と非対称な分布を含んでいます。SHASH分布の形状は、2つの形状パラメータ（γとδ）によって決まります。SHASH分布の詳細については、Jones and Pewsey（2009）を参照してください。

メモ: γ = 0、δ = 1のSHASH分布は、位置、尺度がそれぞれθ、σの正規分布と同じです。

Johnson Su、Johnson Sb、Johnson Sl

Johnson の分布システムは、変換すると正規分布になる3つの分布で構成されています。3つの分布は、次のとおりです。

•

Johnson Su（有界でない）

•

Johnson Sb （パラメータにより定義される有界を上下に持つ）

•

Johnson Sl （パラメータにより定義される有界を上下のいずれかに持つ対数正規分布）

Sは「システム」、添え字は範囲を示します。JMPで採用されている手法とは異なりますが、各Johnsonシステムの選択基準については、Slifker and Shapiro（1980）が参考になります。

Johnson分布システムは、柔軟性が高いことで人気があります。これら3つで構成される分布システムは、歪度と尖度のあらゆる組み合わせに対応しており、柔軟にデータにあてはまります。

Zを標準正規変量とすると、分布システムは次のように定義されます。