Crow AMSAA

신뢰도 성장 플랫폼에서는 MIL-HDBK-189(1981)에 설명된 대로 Crow-AMSAA 모형을 적합시킬 수 있습니다. Crow-AMSAA 모형은 고장 강도가 시간 t(r(t) = lbtβ-1)의 함수 형태인 비동질적 Poisson 과정입니다. 여기서 l는 척도 모수이고 b는 성장 모수입니다. 이 함수는 Weibull 강도라고도 하며, 과정 자체는 멱법칙 과정이라고도 합니다(Rigdon & Basu 2000, Meeker & Escobar 1998). 재발 분석 플랫폼에서는 멱 비동질적 Poisson 과정을 적합시킵니다. 멱 비동질적 Poisson 과정은 다른 파라미터화를 사용하지만 Crow-AMSAA 모형과 동일합니다. 자세한 내용은 모형 적합에서 확인하십시오.

강도 함수는 수리 가능 시스템에 적용되는 개념입니다. 시간 t에서의 값은 t 주변의 작은 구간에서 고장 확률의 한계 값을 이 구간의 길이로 나눈 값입니다. 한계는 구간 길이가 0이 될 때 사용됩니다. 강도 함수는 주어진 시간에 시스템이 고장 날 가능성을 측정하는 것으로 간주할 수 있습니다. b < 1이면 시간 경과에 따라 시스템이 개선됩니다. b > 1이면 시간 경과에 따라 시스템이 저하됩니다. b = 1이면 고장 발생률이 일정합니다.

"Crow AMSAA" 옵션을 선택하면 "누적 사건" 그림이 업데이트되어 모형에 의해 추정된 누적 사건 곡선이 표시됩니다. 각 시점에 대해 이 곡선 주위의 음영 밴드는 해당 시점의 실제 누적 사건 수에 대한 95% 신뢰 구간을 정의합니다. "모형 목록" 보고서도 업데이트됩니다. Figure 11.8에서는 TurbineEngineDesign1.jmp 데이터에 대한 "관측된 데이터" 보고서를 보여 줍니다.

그림 11.8 Crow AMSAA 누적 사건 그림 및 모형 목록 보고서 

Crow-AMSAA 보고서

"모형" 보고서 내에서 "Crow-AMSAA" 보고서가 열립니다. 사건 발생 시간 형식을 사용하는 경우 "Crow-AMSAA" 보고서에는 두 축이 모두 로그로 척도화된 MTBF 그림이 표시됩니다. 자세한 내용은 MTBF 그림에서 확인하십시오.

MTBF 그림

MTBF(평균 고장 간격) 그림은 기본적으로 표시됩니다(Figure 11.9). 각 시점에 대해 MTBF 그림 주위의 음영 밴드는 시간 t의 실제 MTBF에 대한 95% 신뢰 구간을 정의합니다. 그림은 두 축이 모두 로그로 척도화되어 표시됩니다. 이 척도화를 사용하면 MTBF 그림이 선형입니다.

그림 11.9 MTBF 그림 

로그 척도화가 사용될 때 MTBF 그림이 선형인 이유를 확인하려면 다음을 고려하십시오. 평균 고장 간격은 강도 함수의 역수입니다. Weibull 강도 함수의 경우 MTBF는 1/(lbtβ-1)이며, 여기서 t는 시험 시작 이후의 시간을 나타냅니다. 따라서 MTBF의 로그는 기울기가 1 ‑ b인 log(t)의 선형 함수입니다. 추정된 MTBF는 l 및 b 모수를 추정값으로 대체하여 정의됩니다. 따라서 추정된 MTBF의 로그는 log(t)의 선형 함수입니다.

추정값

람다(l), 베타(b) 및 신뢰도 성장 기울기(1 ‑ b)의 최대 가능도 추정값이 그림 아래의 "추정값" 보고서에 나타납니다(Figure 11.9). l, b 및 1 ‑ b의 표준 오차와 95% 신뢰 구간이 제공됩니다. 계산에 대한 자세한 내용은 Crow-AMSAA 모형의 모수 추정값에서 확인하십시오.

공분산 행렬

적합 모형의 모수 추정값에 대한 추정된 공분산 행렬입니다. 이 보고서는 기본적으로 닫혀 있습니다.

Crow-AMSAA 옵션

이 섹션에서는 Crow AMSAA 모형이 적합될 때 "Crow-AMSAA"의 빨간색 삼각형 메뉴에서 사용할 수 있는 옵션에 대해 설명합니다.

MTBF 그림 표시

이 옵션은 MTBF 그림을 표시하거나 숨깁니다. 자세한 내용은 MTBF 그림에서 확인하십시오.

강도 그림 표시

이 그림에는 추정된 강도 함수가 표시됩니다. Weibull 강도 함수는 r(t) = lbtβ-1)로 지정되므로 log(강도)는 (t)의 선형 함수입니다. 두 축 모두 로그로 척도화됩니다.

그림 11.10 강도 그림 

누적 사건 그림 표시

이 그림에는 추정된 누적 사건 수가 표시됩니다. 관측된 누적 사건 수도 이 그림에 표시됩니다. 두 축 모두 로그로 척도화됩니다.

그림 11.11 누적 사건 그림 

Crow-AMSAA 모형의 경우 시간 t에서의 누적 사건 수가 ltβ로 지정됩니다. 따라서 누적 사건 수의 로그는 log(t)의 선형 함수입니다. 결과적으로, 추정된 누적 사건 그림은 로그로 척도화된 축에 대해 표시될 때 선형입니다.

프로파일러 표시

추정된 MTBF, 고장 강도 및 누적 사건을 보여 주는 세 개의 프로파일러가 표시됩니다. 이러한 프로파일러에는 로그 척도화가 사용되지 않습니다. 프로파일러에서 빨간색 수직 파선을 드래그하면 다양한 시점에서 모형 추정값을 탐색할 수 있습니다. 선택한 시점의 값은 그림 아래에 빨간색으로 표시됩니다. 또한 Ctrl 키를 누른 채로 그림을 클릭하여 시간 축을 특정 값으로 설정할 수 있습니다. 파란색 수직 파선은 마지막으로 관측된 고장의 시점을 나타냅니다.

프로파일러에는 추정된 통계량에 대한 95% 신뢰 대역도 표시됩니다. 지정된 시간 설정에 대해 추정된 통계량(빨간색) 및 95% 신뢰 한계(파란색)가 프로파일러 왼쪽에 표시됩니다. 자세한 내용은 프로파일러에서 확인하십시오.

프로파일러의 빨간색 삼각형 메뉴에서 요인 설정 > 프로파일러 연결을 선택하여 이러한 프로파일러를 연결할 수 있습니다. 프로파일러의 사용 및 해석에 대한 자세한 내용은 선형 모형 적합의 요인 프로파일링에서 확인하십시오. 프로파일러의 프로파일러 내용도 참조하십시오.

그림 11.12 프로파일러 

달성된 MTBF

시험이 끝나는 시점의 MTBF에 대한 신뢰 구간이 관심 대상일 때가 종종 있습니다. 중도절단되지 않은 고장 시간 데이터의 경우 이 보고서에는 달성된 MTBF의 추정값 및 95% 신뢰 구간이 제공됩니다. "알파" 값을 입력하여 100*(1-a)% 신뢰 구간을 지정할 수 있습니다. Figure 11.13에 보고서가 표시되어 있습니다. 중도절단된 데이터의 경우 시험 종료 시점의 추정된 MTBF만 보고됩니다.

그림 11.13 달성된 MTBF 보고서 

NHPP에서 발생할 수 있는 고장 시간 시퀀스는 무한히 많으며, 관측된 데이터는 이 중 하나만 나타냅니다. 시험이 n번째 고장에서 고장 종료되었다고 가정해 보겠습니다. "달성된 MTBF" 보고서에서 계산된 신뢰 구간은 n개의 고장 시간이 랜덤이라는 사실을 고려합니다. 시험이 시간 종료된 경우 고장 수와 고장 시간은 랜덤입니다. 이로 인해 달성된 MTBF에 대한 신뢰 구간은 마지막으로 관측된 고장 시간에서 MTBF 프로파일러가 제공한 신뢰 구간과 다릅니다. 자세한 내용은 Crow(1982) 및 Lee & Lee(1978)에서 확인하십시오.

시험이 고장 종료되면 달성된 MTBF에 대한 신뢰 구간이 정확합니다. 그러나 시험이 시간 종료되면 정확한 구간을 얻을 수 없습니다. 이 경우 한계는 구간에 포함되는 달성된 MTBF의 확률이 1-a 이상이라는 점에서 보수적입니다.

적합도

"적합도" 보고서에서는 데이터가 Crow-AMSAA 모형을 따른다는 귀무가설을 검정합니다. 입력한 시간 열이 하나인지 또는 두 개인지에 따라 Cramer-von Mises(고장 시간이 중도절단되지 않은 데이터에 대한 Cramer-von Mises 검정 참조) 또는 카이제곱 검정(구간 중도절단된 고장 시간에 대한 카이제곱 적합도 검정 참조)이 수행됩니다.

고장 시간이 중도절단되지 않은 데이터에 대한 Cramer-von Mises 검정

시작 창에서 데이터를 단일 사건 발생 시간 또는 타임스탬프 열로 입력한 경우 적합도 검정은 Cramer-von Mises 검정입니다. Cramer-von Mises 검정의 경우 검정 통계량 값이 크면 귀무가설이 기각되고 모형이 적절하게 적합되지 않는다는 결론을 내립니다. 이 검정에서는 보고서에 제공된 비편향 베타 추정값을 사용합니다. 검정 통계량 값은 "Cramer-von Mises" 아래에 있습니다.

"p 값" 아래의 항목은 데이터가 Crow-AMSAA 모형을 따르는 경우 검정 통계량에 대한 값이 관측된 값만큼 클 가능성이 얼마나 낮은지 나타냅니다. 이 플랫폼에서는 p 값을 최대 0.25까지 계산합니다. 검정 통계량이 p 값 = 0.25에 해당하는 값보다 작으면 보고서에 p 값 >= 0.25로 나타납니다. 이 검정에 대한 자세한 내용은 Crow(1975)에서 확인하십시오.

Figure 11.14에서는 TurbineEngineDesign1.jmp 데이터에 대한 Crow-AMSAA 모형 적합의 적합도 검정을 보여 줍니다. 계산된 검정 통계량은 0.01보다 작은 p 값에 해당합니다. 이를 통해 Crow-AMSAA 모형은 데이터에 적절하게 적합되지 않는다는 결론을 내립니다.

그림 11.14 적합도 보고서 - Cramer-von Mises 검정 

구간 중도절단된 고장 시간에 대한 카이제곱 적합도 검정

시작 창에서 데이터를 두 개의 사건 발생 시간 또는 타임스탬프 열로 입력한 경우 카이제곱 적합도 검정이 수행됩니다. 카이제곱 검정은 정의된 시간 구간에서 관측된 고장 수와 기대 고장 수의 비교를 기반으로 합니다. 검정 통계량의 값이 크면 귀무가설이 기각되고 모형이 적합되지 않는다는 결론을 내립니다.

신뢰도 성장 플랫폼에서 카이제곱 적합도 검정은 데이터 테이블에 지정된 시간 구간이 전체 시험 기간을 포함하는 구간 중도절단 데이터를 대상으로 합니다. 이는 구간의 시작 시간이 이전 구간의 종료 시간임을 의미합니다. 특히 고장이 발생하지 않은 구간이 데이터 테이블에 포함되어야 합니다. 일부 구간이 연속되지 않거나, 일부 구간의 시작 시간과 종료 시간이 동일한 경우 알고리즘에서 적절하게 조정됩니다. 그러나 시험 결과는 대략적으로만 정확합니다.